x in (0, pi/2) के लिए int_{0}^{sin^2 x} sin^{ | vedclass

Name: Exam Paper Generator | JEE NEET Paper Generator | Vedclass
Brand: Vedclass
Rating: 5 (35 reviews)

Question

(C) माना $I(x) = \int_{0}^{\sin^2 x} \sin^{-1} \sqrt{t} \, dt + \int_{0}^{\cos^2 x} \cos^{-1} \sqrt{t} \, dt$. $x$ के सापेक्ष अवकलन करने के लिए लेबनीज

Vedclass · Accepted Answer

$\frac{\pi}{4}$

Vedclass · Answer

(C) माना $I(x) = \int_{0}^{\sin^2 x} \sin^{-1} \sqrt{t} \, dt + \int_{0}^{\cos^2 x} \cos^{-1} \sqrt{t} \, dt$. $x$ के सापेक्ष अवकलन करने के लिए लेबनीज़ नियम का उपयोग करते हुए: $I'(x) = \sin^{-1}(\sqrt{\sin^2 x}) \cdot \frac{d}{dx}(\sin^2 x) + \cos^{-1}(\sqrt{\cos^2 x}) \cdot \frac{d}{dx}(\cos^2 x)$. चूंकि $x \in (0, \pi/2)$,$\sin x > 0$ और $\cos x > 0$,इसलिए $\sqrt{\sin^2 x} = \sin x$ और $\sqrt{\cos^2 x} = \cos x$. $I'(x) = (x) \cdot (2 \sin x \cos x) + (x) \cdot (-2 \cos x \sin x)$. $I'(x) = x \sin(2x) - x \sin(2x) = 0$. चूंकि अवकलज $0$ है,इसलिए $I(x)$ एक स्थिरांक है। स्थिरांक का मान ज्ञात करने के लिए $x = \pi/4$ पर मूल्यांकन करते हैं: $I(\pi/4) = \int_{0}^{1/2} \sin^{-1} \sqrt{t} \, dt + \int_{0}^{1/2} \cos^{-1} \sqrt{t} \, dt$. सर्वसमिका $\sin^{-1} \sqrt{t} + \cos^{-1} \sqrt{t} = \pi/2$ का उपयोग करते हुए: $I(\pi/4) = \int_{0}^{1/2} (\sin^{-1} \sqrt{t} + \cos^{-1} \sqrt{t}) \, dt = \int_{0}^{1/2} \frac{\pi}{2} \, dt = \frac{\pi}{2} [t]_{0}^{1/2} = \frac{\pi}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{\pi}{4}$.

$x \in (0, \pi/2)$ के लिए $\int_{0}^{\sin^2 x} \sin^{-1} \sqrt{t} \, dt + \int_{0}^{\cos^2 x} \cos^{-1} \sqrt{t} \, dt$ का मान ज्ञात कीजिए।

Similar Questions

$ \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{\sin ^{1000} x}{\sin ^{1000} x+\cos ^{1000} x} \, dx $ का मान ज्ञात कीजिए।

$\int_0^{\frac{\pi}{4}} \frac{\sin x+\cos x}{3+\sin 2 x} d x$ का मान ज्ञात कीजिए।

$\int_0^{\pi / 2} \frac{d x}{1+\tan ^3 x}$ का मान ज्ञात कीजिए:

$\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \sin^2 x \cos^2 x(\sin x + \cos x) dx =$

समाकलन $\int_{0}^{\pi / 2} (\sin^{100} x - \cos^{100} x) dx$ का मान है

Vedclass Test Series

Exam Paper Generator

Online Exam Module